La Hipérbola

Definición

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que la distancia entre los focos.

Elementos, Tipos y Características.

Focos.
Son los puntos fijos F y F'.

Eje secundario o imaginario.
Es la mediatriz del segmento.

Centro.

Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices.

Los puntos V y V' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos A y A' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los focos y de radio c.

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.

El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.

Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.

Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del puntoA diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede Considerar. .Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola

 

Hipérbola.

Al igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.

Hipérbola Horizontal: Es cuando el eje mayor es paralelo al eje x.

Hipérbola Vertical: Con centro en el origen: es la de eje mayor  paralelo a y, con su centro (0,0).

Ecuación canoníca de la hipérbola:

De la Canónica a la general:

-Se saca mínimo común múltiplo.

- Se iguala la ecuación a cero.

-Se desarrolla producto notable.

Pasar a la forma general [(Ax²+By²+Cx+Dy+E=0)] la ecuación 

ordinaria

,correspondiente a una hipérbola.

Eliminemos los denominadores y desarrollemos los cuadrados:

4(x-2)²-9(y+3)²=36

4(x²-4x+4)-9(y²+6y+9)=36

4x²-16x+16-9y²-54y-81=36

4x²-9y²-16x-54y-101=0

Solución:

La ecuación de la forma general queda:

4x²-9y²-16x-54y-101=0

Ecuación General de la Hipérbola:

Ax² + By² + Cx+ Dy + E = 0

Donde A y B tienen signos opuestos.

De la general a la canoníca:

Hallar la ecuación reducida de la hipérbola 4x² - 9y² - 8x + 36y + 4 = 0.

Resolución:

· Se asocian los términos que tengan la misma incógnita y se saca factor común el coeficiente de segundo grado:

(4x² - 8x) - (9y² - 36y) + 4 = 0

4(x² - 2x) - 9(y² - 4y) + 4 = 0

 

· Se completan cuadrados en los paréntesis:

x² - 2x = x² - 2 · 1x + 1² - 1² = (x - 1)² - 1

y² - 4y = y² - 2 · 2y + 2² - 2² = (y - 2)² - 4

· Se sustituye en la ecuación:

4(x - 1)² - 4 - 9(y - 2)² + 36 + 4 = 0

4(x - 1)² - 9(y - 2)² = 4 - 36 - 4 = -36

· Se divide entre -36:

Bibliografía:

*http://apuntesutn.com.ar/apuntes/documento.aspx?IdDocumento=982&bajar=1

*http://usuarios.multimania.es/emsad09matematico/hiperbola.htm

*Libro Álgebra de Baldor.

Definición y Clasificación de los Triángulos

 

-Definición de Triangulo:

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

-Clasificación de los triángulos según la amplitud de sus ángulos

-Acutángulo: Triángulo cuyos tres ángulos interiores son agudos (menos de 90°).

-Rectángulo: Un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de sus ángulos es recto, los otros dos son agudos. Llamaremos catetos a los lados que forman el ángulo recto, siendo la hipotenusa el lado opuesto a ese ángulo.

-Obtusángulo: Es un triangulo que tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°, pero menor de 180°), los otros dos ángulos son agudos (menores de 90°).

-Clasificación de los triángulos según el tamaño de sus lados:

-Equilátero: Es un polígono de tres lados iguales y tres ángulos agudos e iguales a 60°, este triángulo es simétrico respecto a sus tres alturas. La altura de un triángulo equilátero es igual a .

-Isósceles: Tiene dos lados iguales y uno distinto 3 ángulos agudos y sus dos ángulos basales iguales

-Escaleno: Un triángulo con todos los lados de diferentes longitudes. Ningún lado es igual a otro ni ningún ángulo es igual a otro.

- Rectas y puntos notables de un triángulo

En los triángulos hay una serie de rectas y puntos importantes. Las rectas son las medianas, la mediatriz, la altura y la bisectriz. Los puntos donde se cortan son el baricentro, el circuncentro, el ortocentro y el incentro, respectivamente.

-Altura: Son las rectas perpendiculares que van desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

Ejemplo:

-Medianas: Son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto a él.

Ejemplo:

Mediatriz: Son las rectas perpendiculares a sus lados que pasan por el punto medio.

Se cortan en un punto que está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo. Ese punto se denomina circuncentro.

Ejemplo:

-Bisectriz: son las rectas que dividen a sus ángulos en dos partes iguales.

Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro.

Ejemplo:

-Ortocentro: Es el punto de corte de las tres alturas.

El ortocentro puede estar situado en el interior del triángulo, en el caso de los triángulos acutángulos; en uno de sus vértices, en los triángulos rectángulos; o en el exterior, en los triángulos obtusángulos.

Ejemplo:

-Baricentro: Es el punto de corte de las tres medianas.

El baricentro tiene una propiedad: la distancia del baricentro al vértice es el doble de la distancia del baricentro al lado opuesto.

Ejemplo:

-Circucentro: Es el punto en el que se encuentran las mediatrices. Este punto no siempre es interior al triángulo. (En los triángulos con un ángulo obtuso, es exterior; en el caso de los triángulos rectángulos, pertenece a la hipotenusa.)

Ejemplo:

-Icentro: Es el punto en el que se encuentran las bisectrices. El incentro es siempre interior al triángulo, de ahí su nombre.

Ejemplo:

Con centro en el incentro, y radio la distancia de este punto a cualquiera de los lados del triángulo, se puede trazar una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo: es la circunferencia inscrita.

 

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo 

http://www.luventicus.org/articulos/03N017/index.html

http://www.vitutor.com/geo/eso/s_5.html

http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/tema1/Definiciones%20basicas.htm

Nature by Numbers

Video: http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA

 

De los conceptos trabajados anteriormente  el que aparece reflejado en el video Nature by Numbers es el concepto de mediatriz. Ya que es  la línea que corta perpendicularmente en la mitad uno de los lados del triangulo.En la imagen de las alas de la libélula se ve la aplicación de la  “Triangulación de Delaunay" que es una red de triángulos que cumple la condición de Delaunay. Esta condición dice que la circunferencia circunscrita de cada triángulo de la red no debe contener ningún vértice de otro triángulo.

 

Me parece interesante el video lo que más me llamo la atención fue el diseño del girasol por que observo el crecimiento del espiral en este caso veo que  podemos relacionar que todo lo que nos rodea tiene que ver con la con la matemática y el cálculo.