viernes, 5 de noviembre de 2010

La Hipérbola

Definición

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que la distancia entre los focos.

Elementos, Tipos y Características.



Focos.
Son los puntos fijos F y F'.

Eje secundario o imaginario.
Es la mediatriz del segmento.

Centro.
Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices.
Los puntos V y V' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos A y A' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los focos y de radio c.

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.


El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.


Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.

Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del puntoA diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede Considerar. .Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola

 
Hipérbola.



Al igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.

Hipérbola Horizontal: Es cuando el eje mayor es paralelo al eje x.

Hipérbola Vertical: Con centro en el origen: es la de eje mayor  paralelo a y, con su centro (0,0).


Ecuación canoníca de la hipérbola:

De la Canónica a la general:

-Se saca mínimo común múltiplo.
- Se iguala la ecuación a cero.
-Se desarrolla producto notable.

Pasar a la forma general [(Ax2+By2+Cx+Dy+E=0)] la ecuación 
ordinaria

,correspondiente a una hipérbola.


Eliminemos los denominadores y desarrollemos los cuadrados:

4(x-2)2-9(y+3)2=36
4(x2-4x+4)-9(y2+6y+9)=36
4x2-16x+16-9y2-54y-81=36
4x2-9y2-16x-54y-101=0




Solución:

La ecuación de la forma general queda:
4x2-9y2-16x-54y-101=0

Ecuación General de la Hipérbola:
Ax+ By+ Cx+ Dy + E = 0

Donde A y B tienen signos opuestos.

De la general a la canoníca:

Hallar la ecuación reducida de la hipérbola 4x9y2 - 8x + 36y + 4 = 0.

Resolución:

· Se asocian los términos que tengan la misma incógnita y se saca factor común el coeficiente de segundo grado:

(4x8x) - (9y36y) + 4 = 0
4(x2x) - 9(y4y) + 4 = 0




 

· Se completan cuadrados en los paréntesis:

x2x = x2 - 2 · 1x + 1- 1= (x - 1)- 1
y4y = y2 · 2y + 2- 2= (- 2)- 4

· Se sustituye en la ecuación:

4(x - 1)- 4 - 9(y - 2)+ 36 + 4 = 0
4(x - 1)- 9(- 2)= 4 - 36 - 4 = -36

· Se divide entre -36:

Bibliografía:


*http://apuntesutn.com.ar/apuntes/documento.aspx?IdDocumento=982&bajar=1

*http://usuarios.multimania.es/emsad09matematico/hiperbola.htm

*Libro Álgebra de Baldor.























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